Конакбаев в основном известен своими достижениями в профессиональном боксе. Он является серебряным призером XXII Олимпийских игр в Москве, чемпионом Европы и СССР, а также серебряным призером чемпионата мира и двукратным обладателем Кубка мира.
В 90-ые был активным членом правящей партии «Нур Отан» и возглавлял общественный штаб Жамбылской области в поддержку кандидата в президенты Казахстана Нурсултана Назарбаева. С 1999 по 2011 год от той же партии был депутатом мажилиса парламента трех созывов. Перед тем как стать депутатом, был руководителем аппарата акима Жамбылской области и заместителем акима Бостандыкского района в Алматы.
Конакбаев занимал различные руководящие должности в спортивных организациях: федерации профессионального бокса, спортивно-коммерческом клубе «Казахстан», национальном фонде спорта при президенте, федерации бокса Республики Казахстан. В последней он работает до сих пор.
Свою недвижимость в Дубае после 2022 года Конакбаев продал или передал в собственность другим людям.